Reflexiones en torno a un teorema

Me produce un gran desasosiego enterarme que “las fracciones y la lectura de comprensión son el ‘talón de Aquiles’ en las escuelas primarias”, según los resultados de la prueba Enlace. La lectura y las matemáticas son elementos indispensables para acceder a una vida más amable y aquellos que son ajenos a estos placenteros ejercicios sufren una forma de marginación, es decir se encuentran limitados para sortear, con mejores posibilidades de éxito, los retos que la vida les depare.

Precisamente, una de las formas de defensa que yo mismo encuentro frente a los avatares del destino es entregarme a la lectura, o bien acometer por enésima vez algún problema matemático, de los que por años me han fascinado. Existen problemas, o familias de problemas matemáticos que me resultan particularmente interesantes, en cuya meditación encuentro un cierto apaciguamiento y, puede ser, algún consuelo. Es frecuente que endilgue estos problemas a mis estudiantes con la esperanza, inconsciente tal vez, de que ellos puedan acercarse a la satisfacción que yo mismo encuentro cada vez que los abordo.

Uno de esos problemas –en realidad una familia de problemas– es el conocido como el problema de la decisión, o de la “decidibilidad”, consistente en que, dado un cierto problema matemático, hay que determinar si existe un procedimiento (algoritmo) para decidir si el problema tiene solución o no la tiene. Note que no se trata de resolver el problema, sino sencillamente de decidir si existe alguna solución o no. En caso de que ésta exista, entonces encontrarla es otro problema.

Por ejemplo, si se nos presenta cierta ecuación polinomial, se trataría de encontrar un procedimiento para determinar si el polinomio tiene solución o no. Si pensamos solamente en polinomios definidos sobre los números enteros y con coeficientes enteros, nos interesa saber si existe un algoritmo para decidir si la ecuación tiene solución o no en el conjunto de los números enteros. Qué bonito problema, ¿no cree usted?

Este es sólo un caso dentro de la familia de problemas incluidos bajo el nombre genérico de problemas de “decidibilidad”.

La aparición de esta familia de problemas marcó la matemática del siglo veinte y la transformó radicalmente. Se atribuye al matemático David Hilbert el haber propuesto el problema, en un congreso matemático realizado en 1900.

La historia de los matemáticos –algunos de gran calibre intelectual– que intentaron resolver este problema, en la forma que Hilbert lo enunció y los diversos enfoques que emplearon para el efecto resulta muy interesante e ilustrativa. No fue sino hasta 1970 que un joven y desconocido matemático ruso, de 22 años, de nombre Yuri Matiyasevich culminó el teorema que demuestra que el problema formulado en 1900 por Hilbert no tiene solución.

Esto es: que no existe un procedimiento (algoritmo) para decidir si una ecuación polinomial (en los enteros) tiene solución. Ahora el resultado es conocido como el Teorema DPRM, que son las iniciales de todos los que contribuyeron a su demostración (Davis, Putnam, Robinson, Matiyasevich), siendo Matiyasevich quien puso la cereza al pastel.

El Teorema DPRM tiene incontables consecuencias en el ámbito de las matemáticas, desde luego, pero también repercusiones en la lógica formal, la filosofía y la inteligencia artificial. Y, como he dicho, me resulta fascinante ocuparme una y otra vez de este problema. Lo presento en varios de los cursos que imparto y he preparado con gusto algunas conferencias sobre el tema.

Ahora bien, no es muy difícil comprender este teorema en su forma general, es decir en cuanto a su formulación, su significado y a las líneas generales que describen su demostración. Entrar a los detalles para seguir y comprender a fondo su demostración ya requiere de algún entrenamiento matemático.

Estoy convencido que cualquier estudiante de preparatoria podría comprender este teorema si su conocimiento matemático fuera el que se supone que debe tener de acuerdo a lo establecido en los programas de estudio y también, si sus maestros de matemáticas tuvieran el conocimiento matemático apropiado.

Pero si de entrada resulta que en la escuela primaria la mayoría de los estudiantes no domina las fracciones y tiene deficiencias en la lectura de comprensión entonces es injustificada nuestra pretensión: puede ser sólo un buen deseo pensar en que estudiantes de preparatoria comprendan el Teorema DPRM y saquen gusto y provecho de ello. (Aunque conocí a un estudiante de una preparatoria pública de Monterrey -en la cual se ensaya un innovador programa educativo- que conocía y comprendía muy bien este resultado y otros similares).

La falta de comprensión en la lectura me dice que ni siquiera podría entenderse de qué se trata el problema; lo cual, aunado al casi ausente conocimiento matemático nos hace confirmar el grado de marginación social y cultural al que condenamos a la mayoría de nuestros niños y jóvenes que son sujetos –más bien víctimas– de un sistema educativo en ruinas, producto de una organización social opresiva e injusta, que se orienta a producir masivamente –y con toda deliberación– hombres huecos, hombres embutidos.

Por fortuna, el sistema no es determinista y quedan abiertas fisuras por las que la conciencia humana –y humanista– asoma, crece y se opone a tal estado de cosas y, en contrapartida, se propone cambiar el mundo. Y en tal intento, por favor créanme, el estudio y conocimiento de teoremas matemáticos, como el DPRM, no juegan un papel menor.

Cuando en todas las escuelas preparatorias mexicanas se enseñe el Teorema DPRM y profesores y estudiantes disfruten de su discusión y aprendizaje, estaremos en ese otro mundo.